Đề tài Các hệ trục tọa độ

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Đề tài Các hệ trục tọa độ": http://123doc.vn/document/573579-de-tai-cac-he-truc-toa-do.htm

Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
Hệ tọa độ Descartes với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm
minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng của mũi tên.
b. Cách xác định tọa độ một điểm _ Một
vector:
Điểm màu xanh có tọa độ A =
2 5i j
+
r r
=> ta có OA=(2,5)
Điểm màu đỏ có tọa độ B =
3 1i j
− +
r r
Điểm màu xanh dương có tọa độ C =
( 1,5) ( 2,5)i j
− + −
r r
=> BC = (-1,5-(-3)) + (-2.5-1)
Hệ tọa độ Descartes với một đường tròn có tâm trùng với
gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này có
phương trình: x
2
+ y
2
= 4
3. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (3 CHIỀU)
a. Hệ tọa độ gồm
Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một
x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3
vector đơn vị
, ,i j k
r
r r
sao cho độ dài của
3 vector này bằng nhau
Với x'Ox : hoành độ
y'Oy : tung độ
z'Oz : cao độ
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :5/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
b. Cách xác định tọa độ một điểm – Một
vetor:
Khi tồn tại
a
r
thì sẽ có 1 bộ gồm
(x,y,z) sao cho :
a xi yj zk= + +
r
r r
r
Tương tự như đối với cách xác
định hệ tọa độ trong mặt phẳng ta
có :
P =
( 5) ( 5) 7i j k
− + − +
r
r r
Tương tự như trên ta có :
OP =(-5,-5,7)
Q =
3 0 5i j k
+ +
r
r r
OQ = (3,0,5)
QP = (-5-3,-5-0,7-5)
4. Ứng dụng:
• Hệ tọa độ trong mặt phẳng (2 chiều)
̠ Hệ tọa độ trong mặt phẳng (2 chiều) ứng dụng trong toán học , vật lý … ,
khảo sát các tính chất chuyển động của các vật ,thể hiện sự thay đổi giá trị của một
đại lượng nào đó hay đặc trưng cho một dại lượng bất kỳ …một số ví dụ cụ thể
̠ Đồ thị thể hiện quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t
trong chuyển động rơi tự do có phương trình là :
2
1
2
S gt
=
Dựa vào đồ thị , ta còn có thể tìm được quãng đường mà vật đi dược trong khoảng
thời gian ta đang xét :
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :6/22
t 0 2 4 6 8
2
* / 2S g t=
0 19.6 78.4 176.4 313.6
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
50
100
150
200
250
300
350
t
S
̠ Hay khi nhìn vào đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian thì
ta sẽ có thể nhận biết đây là loại chuyển động gì ,…
Như với chuyển động rơi tự do ( là chuyển dộng nhanh dần đều) ta có phương
trình :
v gt
=
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :7/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
50
100
150
200
250
300
350
t
v
̠ Hay khi ta có phương trình quĩ đạo
của một vật là
2 2
x y a+ =
(a= hằng số ) thì ta có
thể kết luận quĩ đạo chuyển động của nó là đều
̠ Ta cũng có thể dùng đồ thị oxy để
xác định diện tích giới hạn bởi một đường cho
trước , ví dụ như tìm diện tích được giới hạn bởi : y=-x+2 và (x-1)2 + y 2= 1
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :8/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
1 2 3 4
-1
1
2
x
y
• Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)
̠ Áp dụng để giải các bài tập về tích phân
Ví dụ : Cho miền Ω giới hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = 2.
Viết tích phân bội 3 của
( , , )I f x y z dxdydz
Ω
=
∫∫∫
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :9/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
Giải : a). Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền D1= { (x, y) : 0
≤
x
≤
2 ; 0
≤
y
≤
2 –x}
Giới hạn trên của
: 1
2 2
x y
zΩ = − −
Giới hạn dưới của
: 0zΩ =
Vậy :
1
2 2
2 2
0 0 0
( , , )
x y
x
I dx dy f x y z dz
− −
−
=
∫ ∫ ∫
̠ Ngoài ra hệ tọa độ trong không gian (3 chiều) ứng dụng rất nhiều trong
cuộc sống ,như trong kiến trúc , thể hiện tọa độ một vật trong không gian,…
Tòa nhà của
đài truyền hình
Trung Quốc
(CCTV) có
chiều cao lệch
với trục OZ chỉ
có 6
0
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :10/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
III. Tọa độ cực
1. Giới thiệu sơ lược về hệ tọa độ
̠ Trong toán học, hệ tọa độ
cực là một hệ tọa độ hai chiều trong
đó mỗi điểm trên một mặt phẳng
được biểu diễn bằng một góc và một
khoảng cách. Hệ tọa độ cực hữu ích
trong những trường hợp trong đó
quan hệ giữa hai điểm dễ được viết
dưới dạng góc và khoảng cách.
Trong các hệ tọa độ thông thường
như hệ tọa độ Descartes, quan hệ
này chỉ có thể được biểu diễn dưới
dạng công thức lượng giác.
̠ Khái niệm góc và bán kính
đã được người xưa sử dụng từ thế
kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 trCN) đã
lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu
cho rằng ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà.
̠ Trên mặt phẳng cho một điểm O gọi là gốc tọa độ và nửa đường thẳng Ox
gọi là trục tọa độ.
2. Cách xác định tọa độ 1 điểm trong tọa độ cực:
̠ Tọa độ cực của điểm M trên mặt phẳng là cặp số
( , )r
ϕ
xác định như sau:

0r ≥
là khoảng cách từ
điểm M đến gốc tọa độ O

0 2
ϕ π
≤ ≤
là góc
( ,OM)Ox
uuuur
̠ Tọa độ cực liên hệ với
tọa độ Descartes vuông góc
tương ứng bởi công thức sau:
sin
cos
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

Vì ta sẽ đưa được về tọa độ Descartes khi bình phương x, y và cộng lại thì ta được
2 2 2
x y r
+ =
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :11/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
3. Ứng dụng:
̠ Có thể ứng dụng để xác định tọa độ một điểm
trong mặt phẳng bằng cặp số (r, )
̠ Trong một số trường hợp , khi chuyển sang tọa
độ cực thì phép tính tích phân sẽ đơn giản hơn cả về cận
lẫn công thức tính tích phân
Tìm diện tích của một phần mặt phẳng giới hạn bởi hai
tia đi qua tọa độ cực và một đường cong ( chú ý rằng mọi
đường đi qua tọa độ cực cắt đường cong đó không quá 1 điểm).
Với hình bên thì ta sẽ có
2
1
( )
2
S r d
β
ϕ
ϕ ϕ
=
∫
̠ Tương tự như trên , ta cũng có thể tìm được diện tích phần giới hạn bằng
cách vẽ hình phần diện tích cần tìm
̠ Một số phương trình tiêu biểu trong tọa độ cực
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :12/22
r(t)=1+cos t
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1
-0.5
0.5
1
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
Đường Archimède
( 1)r a a
ϕ
= =
r(t)=t
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
Đường hoa hồng 4 cánh
sin 2 ( 1)r a a
ϕ
= =
r(t)=sin 2t
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :13/22
Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng
IV. Tọa độ cầu
1. Sơ lược về tọa độ cầu
Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc
Oxyz.
̠ Tọa độ cầu của điểm M trong
không gian là bộ ba số
( , , )r
θ ϕ
xác
định như sau:

0r ≥
là khoảng cách từ điểm M
đến gốc tọa độ O

0
θ π
≤ ≤
là góc
( ,OM)Oz
uuuur

0 2
ϕ π
≤ ≤
là góc
( ,OM )Ox
′
uuuur
với
M’ là hình chiếu vuông góc của
điểm M xuống mặt phẳng Oxy
̠ Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ
Descartes vuông góc như sau:
2. Cách dựng một mặt cầu :
̠ Cho một điểm O cố định trong
không gian, tập hợp tất cả các điểm trong
không gian cách điểm O một đoạn R tạo
thành một mặt cầu gọi là mặt cầu tâm O bán
kính R
Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :14/22
sin os
sin sin
cos
x r c
y r
z r
θ ϕ
θ ϕ
θ
=


=


=
