LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "nghiệm dương của phương trình vi phân trung hòa đối số lệch": http://123doc.vn/document/1052298-nghiem-duong-cua-phuong-trinh-vi-phan-trung-hoa-doi-so-lech.htm
0
t
t
x t exp s ds
Mục đích chính là áp dụng phương pháp này cho phương trình (*) để tìm điều
kiện tồn tại của nghiệm dương và để khái quát, mở rộng kết quả được chứng minh
trong trường hợp đặc biệt của phương trình (*) có dạng:
d
x t P t x t Q t x t 0,
dt
Luận văn gồm có 2 chương:
+ Chương 1: Trích từ bài báo [12] Trình bày một số kết quả về tính ổn định của
phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch có dạng:
d
x t P t x t Q t x t 0,
dt
+ Chương 2: Trích từ bài báo [11] Khảo sát điều kiện tồn tại nghiệm dương của
phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch có dạng:
m
j j i i
j 1 i 1
d
x t p t x t t q t x t t 0,
dt
Trong luận văn, một số kết quả sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng Định lý
hoặc Bổ đề không chứng minh.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu:
Cùng với sự phát triển của ngành Toán Giải tích, Đại số, Hình học vi phân, Đa
tạp… phương trình vi phân luôn được hiện đại hóa. Bên cạnh đó công cụ máy tính
điện tử với các phần mềm chuyên dùng đã làm tăng khả năng ứng dụng thực tiễn của
môn học này. Việc xác định được nghiệm, đặc biệt là nghiệm dương của phương trình
vi phân trung hòa đối số lệch có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán
dẫn đến phương trình vi phân. Từ đó, ta có thể giải quyết các bài toán biến đổi các quá
trình khi nghiên cứu các hiện tượng Tự nhiên và Xã hội. Trong những năm gần đây,
ngày càng có nhiều nghiên cứu cho thấy tầm quan trọng của phương trình vi phân
trung hòa đối số lệch được ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong các ngành
khoa học và đời sống như: Vật lý, Sinh học, Sinh thái học, Sinh lý học, Môi trường,
Kinh tế, Địa chất, Khảo cổ học…
Chương 1
TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN
TÍNH TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH
Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch:
0
d
x t P t x t Q t x t 0, t t ,
dt
(1.1)
trong đó:
0
, 0, ,P C t , ,
và
0
Q C t , , 0, .
Định nghĩa 1.1: Nghiệm x
o
(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định nếu với mỗi
0
và
0
t
, tồn tại
0
,t 0
sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa
điều kiện
0 0 0
x t x t
thì
0 0
x t x t , t t
.
Định nghĩa 1.2: Nghiệm x
o
(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định đều nếu với mỗi
0
, tồn tại
0
sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn tại
một điểm
0
t
nào đó điều kiện
0 0 0
x t x t
thì
0 0
x t x t , t t
.
Định nghĩa 1.3: Nghiệm x
o
(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu
nó ổn định và với mỗi
0
t
, tồn tại
0
t 0
sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương
trình (1.1) thỏa điều kiện
0 0 0
x t x t
thì
0 0
t
lim x t x t 0, t t
.
Bổ đề 1: (Xem [7])
Giả sử
0
, 0, ,P C t , ,
và
0
Q C t , , 0,
thỏa với
P t 1
và
0
t
Q s ds
.
Khi đó mỗi nghiệm của phương trình
0
d
x t x t Q t x t 0, t t
dt
dao động.
Bổ đề 2: (Xem [7])
Giả sử
0
, 0, ,P C t , ,
và
0
Q C t , , 0,
và
0
t
Q s ds
thỏa,
P t 1
và
t
t
t
Q s
1
liminf ds
P s e
Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình (1.1) dao động.
Trong chương này chúng ta sẽ thiết lập các điều kiện để nghiệm không của phương
trình (1.1) là ổn định đều và tất cả các nghiệm của phương trình đều ổn định tiệm cận.
1.1. Tính ổn định đều và ổn định tiệm cận trong trường hợp P(t) không là hàm hằng.
1.1.1. Định lý 1.1.
Giả sử
P t p
,
1
p 0,
2
và
t
0
t
1 3
p , 2p + Q s ds , t t ,
4 2
(1.2)
hoặc
t
0
t
1 1
p , Q s ds 2 1 2p , t t .
4 2
(1.3)
Khi đó nghiệm không của phương trình (1.1) là ổn định đều.
Chứng minh
Đặt:
max , , min ,
.
Chọn một số nguyên dương m sao cho
m 3
. Với
0
bất kỳ, đặt:
m
1 p
1 p 2p 3
Ta sẽ chứng minh rằng với bất kỳ
0
t' t , C t ' ,t , ,
, ta có:
x t ,t t '
(1.4)
trong đó x(t) là nghiệm của phương trình (1.1) thỏa điều kiện ban đầu
x s s
với
s t' ,t'
.
Đặt:
z t x t P t x t
(1.5)
Ta có kết quả (Xem [15, Định lý 1])
m
x t 2p 3 , t t',t ' m
. (1.6)
Kế tiếp ta chứng minh (1.4). Bằng phương pháp phản chứng, giả sử (1.4) không đúng,
khi đó theo (1.6) ta có
T t' m
sao cho
x T
và
x t
với
t' t T
.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng
x T
. Ta có:
z T x T P T x T 1 p 0.
(1.7)
Suy ra:
z t' m x t ' m P t ' m x t' m 1 p z T
Từ (1.7) tồn tại
0
T t ' m ,T
sao cho
0
z T max z t :t' m t T
và
0
z t z T
với
0
t' m t T
.
Đặt:
y t z t p , t t'.
(1.8)
Khi đó:
x t z t P t x t
z t p
0
y t , t' + t T .
Từ (1.1) và (1.8), ta có:
0
y' t z' t Q t x t Q t y t , t' t T .
(1.9)
Do
1
0 p
2
, dễ dàng thấy rằng
0
y T z T p 1 2p 0.
Tiếp theo ta chứng minh
0
y T 0
. Giả sử ngược lại
0
y T 0
. Khi đó có một
lân cận trái
0 0
T h,T
của
0
T
, với h > 0, sao cho
y t 0
trên
0 0
T h,T
và
y t 0
trên
0 0
T h,T
. Theo (1.9), ta thấy rằng
z t
không tăng trên
0 0
T h,T
. Điều này trái với
0
z T max z t : t' m t T
và
0
z t z T
với
0
t' m t T
. Vì thế
0
y T 0
. Do đó, tồn tại
0 0
T ,T
sao cho
y 0
. Từ (1.9), ta có
0
y' t Q t , t' t T .
(1.10)
Lấy tích phân 2 vế (1.10) từ
t
đến
ta được:
0
t
y t Q s ds, t T .
Thế vào (1.9), ta có:
0
t
y' t Q t Q s ds, t T .
(1.11)
Cuối cùng ta chứng minh:
0
y T 1 2p ,
(1.12)
Xét ba trường hợp:
Trường hợp 1:
1
0 p
4
và
0
T
Q s ds 1
.
Trong trường hợp này, ta lấy tích phân 2 vế của (1.11) từ
đến T
0
, ta có:
0
T
0
t
y T Q t Q s ds.dt
0
T
t t
t
Q t Q s ds Q s ds dt
0
T
t
3
Q t 2p Q s ds dt
2
0 0
2
T T
3 1
2p Q s ds Q s ds
2 2
1 2p .
Trường hợp 2:
1
0 p
4
và
0
T
Q s ds 1
.
Chọn
1 0
T ,T
sao cho:
0
1
T
T
Q s ds 1
.
Sau đó lần lượt lấy tích phân (1.10) từ
đến T
1
và lấy tích phân (1.11) từ T
1
đến
T
0
, ta có:
01
1
TT
0
T t
y T Q t dt Q t Q s dsdt
0 0
1
1 1
T T
T
T T t
Q t dt Q s ds Q t Q s ds dt
0 1
1
T T
T t
Q t Q s dsdt
0 0
1 1
2
T T
T T
3 1
2p Q s ds Q s ds
2 2
1 2p
.
Trường hợp 3:
1 1
p
4 2
và
0
T
Q s ds 2 1 2p
.
Lấy tích phân (1.11) từ
đến T
0
, ta được:
0
T
0
t
y T Q t Q s ds dt
0
T
t t
t
Q t Q s ds Q s ds dt
0
T
t
Q t 2 1 2p Q s ds dt
0 0
2
T T
1
2 1 2p Q s ds Q s ds
2
1 2p
.
Các trường hợp 1 – 3 chứng tỏ rằng (1.12) đúng. Điều này mâu thuẫn với
0
y T z T p 1 2p 0
.
Vậy định lý được chứng minh xong.
1.1.2. Định lý 1.2.
Giả sử
P t p
,
1
p 0,
2
và
0
t
Q s ds
(1.13)
Nếu:
t
t
t
1 3
p , 2p limsup Q s ds
4 2
(1.14)
hoặc
t
t
t
1 1
p , limsup Q s ds 2 1 2p
4 2
(1.15)
Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.1) tiến về 0 khi
t
.
Chứng minh
Gọi
x t
là nghiệm của phương trình (1.1). Ta sẽ chứng minh:
t
limx t 0
(1.16)
ở đây
x t
dao động hoặc không dao động.
Đặt
z t
như trong chứng minh của định lý 1.1, tức là:
z t x t P t x t
Theo chứng minh của định lý 1.1,
x t
bị chặn.
Đặt:
t
limsup x t
.
Khi đó
0
và
t
M limsup z t 1 p .
(1.17)
Ta sẽ chứng minh
0
.
Giả sử
0
. Khi đó với bất kỳ
0, 1 2p
, tồn tại
3
A 1;
2
,
B 0; 2 1 2p
và
0
T t
sao cho:
x t , t T ,
và
t
t
1
A 2p p
4
Q s ds ;t T
1 1
B p
4 2
neáu
neáu
(1.18)
Đặt:
y t z t p , t T
(1.19)
Khi đó:
x t z t P t x t
z t p
y t , t T.
Từ (1.1) và (1.19), ta có:
y' t z' t Q t x t Q t y t , t T.
(1.20)
Ở đây
z' t
là dao động và có một dãy tăng
n
T
sao cho
n n n
T T 2 , T , z T M khi n ,
n
z T 1 p
và T
n
là cực đại địa phương trái của
z t
.
Ta xét trường hợp
n
z T 0
. Trường hợp
n
z T 0
là tương tự, ta không chứng minh ở
đây.
Ta có:
n n
y T z T p 1 2p 0
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét