Môđun cohen - macaulay dãy

ủ M ế D
i1
ớ t ủ D
i
ớ dim D
i1
< dim D
i
, i =
1, 2, . . . , t D
0
= H
0
m
(M) ố ồ ề ị tứ ủ
M ố ớ m ế t = 1 tr ọ ề D ở tr ó M
ế ỉ ế l
R
(D
0
) < D
1
/D
0

từ ị ý ề số ộ tr trờ ợ M ế
ỉ ế tồ t ệ t số x = x
1
, . . . , x
d
ủ M s l(M/xM) =
l
R
(D
0
) + e(x, D
1
) D ọ ề ủ M ớ dim D
i
= d
i
x =
x
1
, . . . , x
d
ệ t số ủ M s D
i
(x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0, i =
0, 1, . . . , t 1 ệ t số ợ ọ ệ t số tốt ủ M ột
ỏ tự t r ệ ệ ề s ò ú
M ế ỉ ế ớ ọ ệ t số tốt
x = x
1
, . . . , x
d
ủ M l(M/xM) =
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
)
M ế ỉ ế tồ t ột ệ t
số tốt x = x
1
, . . . , x
d
ủ M s l(M/xM) =
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
)
ụ í í ủ trì ữ ết qủ í ủ
ờ ờ ề tr tí t ủ
t q ệ t số tốt q ó tr ờ trọ ẹ
ỏ tr
ồ r trớ ết ú t trì
ột số ế tứ sở ý tết ộ tí trệt t ủ ố ồ
ề ị ú ữ ụ
ết q ứ ợ trì tr
ớ tệ ệ ọ t ề ệ
ề ệ t số tốt tr ệ ó trò
q trọ tr ứ s ế t
ú t trì sự tồ t ệ t số tốt ủ M ệ I
D,M
(x) =
l(M/xM)
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
) ột ồ ế
ét I
D,M
(x(n)) ột t n
1
, . . . , n
d
tì ồ ế
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

q trọ t ủ r
ú t ứ tr ị
P trì tí t q ệ
t số tốt P tế t r tr
ị ú ỏ tứ t ớ ỏ
tứ ú t ỉ r M ế ỉ ế
tồ t ệ t số tốt x = x
1
, . . . , x
d
ủ M s l(M/(x
2
1
, . . . , x
2
d
)M) =
t

i=0
2
d
i
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
) ú t ỉ r ết q tốt t ó tể ồ
tờ ứ ụ ể tr ợ ớ ỉ
ợ t ớ sự ớ t tì
ủ ễ ự ờ ị t tỏ ò ết
s s tớ t
tỏ ò ết P ễ
ố P ị P ố
ễ ị t tì ú t ự ữ ế tứ
sở
ị ớ ọ ổ ũ ộ
t tr q trì
ố ù t tỏ ò ết tớ ữ ờ t tr ì
t ự ộ ề t t t t t ể t t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ột số ế tứ ị
r ú t ột số ị ĩ ết q tết
sẽ ợ sử ụ tr ý tết ộ ố ồ ề ị

ý tết ộ
rớ ột số tí t ệ ộ t ó ị ĩ s
ị ĩ (R, m) ị tr M ột R
ữ s dim M = d ột ệ tử x = x
1
, . . . , x
r
ủ R
s l
R
(M/xM) < + ợ ọ ệ ộ ủ M ó í ệ ộ
e(x, M) ủ M ố ớ ệ ộ x ợ ị ĩ q t r s
ế r = 0 tì l
R
(M) < + t e(, M) = l
R
(M) ế r 1 tì t
0 :
M
x
1
= {m M | mx
1
= 0} ễ t x
2
, . . . , x
r
ệ ộ ủ 0 :
M
x
1

ụ tết q M/x
1
M 0 :
M
x
1
t ó
e(x
, M) = e(x
2
, . . . , x
r
, M/x
1
M) e(x
2
, . . . , x
r
; 0 :
M
x
1
).
ộ e(x, M) ó tí t s
ú ý 0 M

M M 0 ớ R
ữ s x ệ ộ ủ M ó
e(x, M) = e(x, M

) + e(x, M).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ớ ọ số n
1
, . . . , n
r
ó
e(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
; M) = n
1
. . . n
r
e(x, M).
ổ ề s ợ sử ụ ề ệ ứ ết qủ ủ
tế t
ổ ề ổ ề (R, m) ị tr
ó ề d M ữ s x
1
, . . . , x
d
ệ t số ủ R
q = (x
1
, . . . , x
d
) s ở ệ ó
e(q, M) = lim
min(v
i
)
l(M/(x
v
1
1
, . . . , x
v
d
d
)M
v
1
. . . v
d
.
ố ồ ề ị
rớ ết ú t ệ í q ủ M
(R, m) ị M ữ s x = x
1
, . . . , x
r

tử ủ R
ị ĩ x ợ ọ í q ủ M ế (x
1
, . . . , x
r
)M =
M x
i
ớ ủ ủ M/(x
1
, . . . , x
i1
)M, i =
1, . . . , r
ị ý s ó ề tí trệt t ề ố ồ ề ị
rt ữ í ệ ứ ết q ủ
ị ý ị í rt (R, m) ị
tr M R ữ s depth M = t, dim M = d
ó
H
i
m
(M) = 0 ớ i < t, i > d
H
t
m
(M) = 0 H
d
m
(M) = 0
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn


r ụ trì ệ t số ột số tí t ủ ó
rớ t t ó ị ĩ s
ị ĩ (R, m) ị tr M R
ữ s dim M = d ó ệ ồ d tử x = x
1
, . . . , x
d
m
ệ t số ế l(M/xM) <
x = x
1
, . . . , x
d
m ột ệ t số q = (x
1
, . . . , x
d
)
s ở ệ ó q ọ t số ủ M
x ệ t số t ó ệ ề s
ệ ề ị ý (R, m) ị tr
M R ữ s x
1
, . . . , x
r
m ó
dim M/(x
1
, . . . , x
i
)M dim M i.
r ỉ x
1
, . . . , x
r
ệ t số ủ M
ổ ề M ữ s ó tử x m ột
tử t số ủ M ế ỉ ế x / P ớ ọ P Ass(M) s
dim R/P = d
ứ sử x tử t số ủ M tì ớ ọ n
x
n
ũ tử t số ủ M ó dim(M/x
n
M) = d 1
dim(x
n
M) = d ì dim M = max{dim(M/x
n
M); dim(x
n
M)} ọ N
ớ t ủ M ó ề ỏ d ó x
n
M N ớ ọ n
ó Supp(M/N) = Var(Ann(M/N)

Ann(M/N) =

PSupp(M/N)
P t t ó Ass(M/N) Supp(M/N)
Min(Ass(M/N)) = Min(Supp(M/N)) r
x /

Ann(M/N) =

PAss(M/N)
P.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ổ ề N ó tí t
Ass(M/N) = {P Ass(M)| dim R/P = d}.
r x / P ớ ọ P Ass(M) t dim R/P = d t
ứ ứ sử x / P ớ ọ P Ass(M) t
dim R/P = d dim M/xM = d r tồ t P Ass(M/xM) s
dim R/P = d ì P = 0 :
M
+xM ớ tử ó ủ M x P
ề t ớ tết ó dim M/xM < d t ệ ề
t ó dim M/xM = d 1 x tử t số ủ M
ổ ề N ột ủ M ó ế dim(M/N) < d
tì tồ t x tử t số ủ M s x

Ann(M/N) ữ
ế dim(M/N) = d t < d tì tồ t t tử t số x
1
, . . . , x
t
ủ M
s x
1
, . . . , x
t
Ann(M/N)
ứ ừ

Ann(M/N) =

PAss(M/N)
P ổ ề tồ t
tử x

PAss(M/N)
P x /

QAss(M),dim R/Q=d
Q sử ợ


PAss(M/N)
P

QAss(M),dim R/Q=d
Q ị ý tr tố
tồ t P Ass(M/N) Q Ass(M) ớ dim R/Q = d s P Q
r dim R/P = d ề t ớ dim M/N < d s r
ị tứ t ú sử dim(M/N) = d t < d t ứ
tr tồ t x
1
tử t số ủ M s x
1
Ann(M/N) r
x
1
M N ớ t = 1 ứ ở tr ớ t > 1 t M
1
= M/x
1
M
N
1
= N/x
1
M ó
dim M
1
/N
1
= dim M/N = d t < d 1 = dim M
1
.
r tồ t x
2
tử t số ủ M
1
s x
2
Ann(M
1
/N
1
) =
Ann(M/N) ó
dim M/(x
1
, x
2
)M = dim M
1
/x
2
M
1
= dim M
1
1 = d 2.
ó x
1
, x
2
ột ệ t số ủ M x
1
, x
2
Ann(M/N) s
r (x
1
, x
2
)M N ế d t < d 2 tì t M
2
= M/(x
1
, x
2
)M N
2
=
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

N/(x
1
, x
2
)M ý t tự M
1
, N
1
q t ớ tứ
k 1 k t 1 tồ t x
k+1
s x
1
, . . . , x
k
, x
k+1
ột ủ ệ
t số ủ M x
1
, . . . , x
k+1
Ann(M/N) t ó ề ứ

ị ĩ (R, m) ị M R ữ
s ó M ế dim M = depth M
ế t ột số tí t t ủ
ệ ề ị ý ị ý ị s
t
M
ồ t t số q s e(q, M) = l(M/qM)
e(q, M) = l(M/qM) ớ ọ t số q ủ M
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ọ ề ệ t số tốt
ụ í ủ ớ tệ ệ ọ t ề
ệ ề ệ t số tốt ột số ết q q ế ệ
r ú t tết (R, m) ị tr
M R ữ s ó ề d
tí t ủ
t t ị ĩ
ị ĩ ột tử x = x
1
, . . . , x
r
m ọ
x ủ M ế (x
1
, . . . , x
i1
)M : x
j
= (x
1
, . . . , x
i1
)M : x
i
x
j
ớ
ọ i = 1, . . . , r j i ó x
1
, . . . , x
r
ột ủ M ế
(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
) ớ ọ số n
1
, . . . , n
r

ị ĩ ột ữ tử x
1
, . . . , x
r
m ủ
M ế (x
1
, . . . , x
i
) ột ủ M/(x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
r
r
)M ớ
ọ số n
1
, . . . , n
r
; i = 1, . . . , r
ừ ị ĩ t ó ổ ề s
ổ ề ế x
1
, . . . , x
r
ột ủ M tì ọ x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
ũ ủ M ớ n
1
, . . . , n
r
> 0

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ứ ì x
1
, . . . , x
r
ột ủ M x
m
1
1
, . . . , x
m
i
i

ủ M/(x
m
i+1
i+1
, . . . , x
m
r
r
)M ớ ọ m
1
, . . . , m
r
> 0 ó
x
m
1
n
1
1
, . . . , x
m
i
n
i
i
ủ M/(x
m
i+1
n
i+1
i+1
, . . . , x
m
r
n
r
r
)M ớ ọ
n
1
, . . . , n
r
> 0 r x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
ủ M/(x
n
i+1
m
i+1
i+1
, . . . , x
n
r
m
r
r
)M
x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
ủ M
ổ ề x = x
1
, . . . , x
r
tử tr m ị s
t
x ủ M
ớ ọ 1 i k j r n
1
, . . . , n
r
> 0 t ó
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
.
ớ ọ 1 i j r n
1
, . . . , n
r
> 0 t ó
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
j
j
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
j
j
.
ứ (i) (ii) ợ s r từ ị ĩ
(ii) (iii) ể k = j
(iii) (ii) ét 1 i j r, n
1
, . . . , n
r
> 0 ù ị ý r
từ tết t ó
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
=

n
k+1
, ,n
j
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
k+1
k+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
=

n
k+1
, ,n
j
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
k+1
k+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i1
i1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
.
x ệ t số tì x ủ M ó tr s
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

ổ ề ệ q x = x
1
, . . . , x
d
ột ệ t số ủ M
ó x tr M ế ỉ ế tồ t số a
0
, . . . , a
d
s
ớ ọ n
1
, . . . , n
d
> 0 t ó
l(M/x(n)M) =
d

i=0
a
i
n
1
. . . n
i
tr ó a
i
= e(x
1
, . . . , x
i
; (x
i+2
, . . . , x
d
)M : x
i+1
/(x
i+2
, . . . , x
d
)M)
ọ t ề ệ ề ệ t số tốt
r ụ ú t ứ sự tồ t ủ ọ ề ệ t số
tốt ột số tí t ủ ó ó ị ĩ s
ị ĩ ó ột ọ ữ ủ M
F : M
0
M
1
. . . M
t
= M, t <
t ề ệ ề ế dim M
0
< dim M
1
< . . . < dim M
t
= d.
ột ọ t ề ệ ề D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ợ
ọ ọ ề ủ M ế
D
0
= H
0
m
(M) ố ồ ề ị ủ M ố
ớ m
D
i1
ớ t ủ D
i
ó ề ỏ dim D
i
, i =
1, . . . , t 1, t
ị ĩ F : M
0
M
1
. . . M
t
= M ột ọ t
ề ệ ề x = x
1
, . . . , x
d
ột ệ t số ủ M t
d
i
= dim M
i
, i = 0, 1, . . . , t ệ t số x ợ ọ ệ t số tốt ố
ớ ọ F ế M
i
(x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0 ột ệ t số tốt ố ớ ọ
ề ợ ọ ột ệ t số tốt ủ M
ổ ề I ủ R M ột R ữ s
N ột ủ M sử l(M/IM) < ó l(N/IN) <
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Xem chi tiết: Môđun cohen - macaulay dãy