hiển nhiên đúng .
vậy
2 2 1 a>0a a a
+ + + ∀
p
VD 5: chứng minh rằng :
1 1 4
x,y>0, x+y<1
x y x y
+ ≥ ∀
+
Từ đó suy ra
2 2
1 1
4
2x y xy
+ ≥
+
CM:
2 2 2 2
1 1 4 4
4 2 0 0 ( ) ( )
x y
x y xy x xy y x y
x y x y xy x y
+
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
+ +
hiển nhiên đúng . vậy
1 1 4
x,y>0
x y x y
+ ≥ ∀
+
đặt x
2
+y
2
=X; 2xy=Y
theo chứng minh trên, ta có
2
1 1 4 4
= (1)
( )X Y X Y x y
+ ≥
+ +
2
2
4
1 4
x,y>0
( ) (2)
x+y<1 ( )
x y
x y
⇔ + < ⇔ >
+
từ (1) và (2) suy ra
1 1
X Y
+ ≥
4 hay
2 2
1 1
4
2x y xy
+ ≥
+
VD 6: chứng minh rằng:
2 2
1 1 2
1 1 1
a b ab
+ ≥
+ + +
với mọi ab>1
CM: nhân cả hai vế của BĐT với (1+a
2
).(1+b
2
).(1+ab) thì
2 2
1 1 2
1 1 1
a b ab
+ ≥
+ + +
⇔
(1+a
2
).(1+ab)+(1+b
2
). (1+ab)
≥
2(1+a
2
)(1+b
2
)
⇔
(1+a)(2+a
2
+b
2
)-2(1+a
2
)(1+b
2
)
≥
0
⇔
2+a
2
+b
2
+2ab+ab.a
2
+ab.b
2
-2-2b
2
-2a
2
-2a
2
b
2
≥
0
⇔
ab.a
2
+ab.b
2
-a
2
-b
2
+2ab-2a
2
b
2
≥
0
⇔
(ab.b
2
–b
2
)+(ab.a
2
-a
2
)+(2ab-2a
2
b
2
)
≥
0
⇔
b
2
(ab-1) + a
2
(ab-1)-2ab(ab-1)
≥
0
⇔
(b-a)
2
(ab-1)
≥
0 hiển nhiên vì ab>1
vậy
2 2
1 1 2
1 1 1
a b ab
+ ≥
+ + +
với mọi ab>1
Bài tập tự giải
Chứng minh rằng:
bài 1: a
2
+ b
2
+c
2
+d
2
≥
a(b+c+d+e)
, , ,a b c d
∀
bài 2:
2 2
p,q>0
p q
pq
p q
+
≥ ∀
+
bài 3:
2 2
a,b>0
a b
a b
b a
+ ≤ + ∀
bài 4: a
3
+b
3
≤
a
4
+b
4
với a+b
2
≥
bài 5:
1 1 1 3
a b c a b c a b c
+ + >
+ + + + +
với mọi a,b,c>0
bài 6:
1a b ab
+ + ≤ +
với
1 1;a b
< <
trong q trình học bất đẳng thức chúng ta còn gặp nhiều bất đẳng mà chứng
minh nó bằng phương pháp biến đổi tương đương sẽ gặp rất nhiều khó
khăn, cũng có những bài khơng thể làm được bằng phương pháp này. Để
chứng minh những bất đẳng thức như vậy đơi khi ta phải nhờ đến một bất
đẳng thức khác như bất đẳng thức cauchy (cơ sy), Bunhiacopsky,…sau đây
là một số bài tốn chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp áp dụng bất
đẳng thức cơ sy.
II. DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC.
Với
1 2 3
0, , , ,
n
a a a a
≥
ta có
1 2 3
1 2 3
n
n
n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥
Ta cũng có thể viết
1 2 3
0, , , ,
n
a a a a
≥
ta có
1 2 3 1 2 3
n
n n
a a a a n a a a a+ + + + ≥
Chứng minh:
a. BĐT đúng với n = 2. thật v ậy
Với mọi
1 2
0,a a
≥
ta có
2
1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
0 2 0 2
2
( )
a a
a a a a a a a a a a a a
+
− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
(1)
dấu “=” xảy ra khi
1 2
a a
=
.Bất đẳng thức đúng.
- giả sử BĐT đúng với n=k (k bất kì). Ta phải chứng minh B ĐT đ úng
với n=2k
thật vậy giả sử
1 2 3
0, , , ,
k
a a a a
≥
ta có
1 2 3
1 2 3
k
k
k
a a a a
a a a a
k
+ + + +
≥
với 2k số khơng âm
1 2 3 2
, , , ,
k
a a a a
ta có
1 1 2
1 2 3 1 2
1 2 3 2
2
2 2
(GT. QN)
k k k
k k
k k k k
k
a a a a
a a a a a a a
a a a a
k k
k
+
+ +
+ + + +
+
+
+ + + +
= ≥
2
1 2 3 1 2 2 1 2 3 2
k k k
k k k k k
a a a a a a a a a a a
+ +
≥ =
(2)
dấu “=” xảy ra khi
1 2 3 2
, ,
k
a a a a
= = = =
- Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k (k bất kì) sẽ đúng
với n=k-1
thật vậy với k-1 số khơng âm
1 2 3 1
, , , ,
k
a a a a
−
ta có
1 1
1 1
1 2 3 1 1 1
1 2 3 1
1
1 1
k
k k
k
k k k
k
k
a a
a a
a a a a a a
k
a a a a
k k
+ −
−
− + −
−
+ +
+ + +
+ + + + + +
−
= ≥
÷
− −
1
1 2 3 1 1 2 3 1
1
1 2 3 1 1 2 3 1
1 1
k
k k
k
k k
a a a a a a a a
a a a a a a a a
k k
−
− −
−
− −
+ + + + + + + +
≥ ⇔ ≥
÷ ÷
− −
(3)
dấu “=” xảy ra khi
1 2 3 1
, ,
k
a a a a
−
= = = =
từ (1),(2) và (3) suy ra BĐT ln đúng với mọi n
2
≥
ghi chú: Cách chứng minh trên là cách chứng minh bằng phương pháp
quy nạp kiểu cauchy
VD1: Chứng minh rằng (a+b) (1+ab)
≥
4ab với mọi a,b>0
Phân tích: ta khơng thể áp dụng ngay BĐT cơ sy trong trường hợp này vì
ở vế trái là một tích . để áp dụng bất đẳng thức cơ sy ta phải viết vế trái
thành tổng.
CM: ta có (a+b)(1+ab) = a+a
2
b+b+ab
2
. vì a,b>0 nên a,ab
2
,b,a
2
b>0
Theo bất đẳng thức cơ sy, ta có a+a
2
b+b+ab
2
2 2 4 44 4
4 4 4. . .a a b ab b a b ab
≥ = =
Dấu “=” xảy ra khi a=b=1
Vậy (a+b)(1+ab)
≥
4ab với mọi a,b>0.
VD 2 Chứng minh rằng (
a b
+
)(
1 1
4) a,b>0
a b
+ ≥ ∀
CM: (
a b
+
)(
1 1
)
a b
+ =
1+
1
a b
b a
+ +
. Vì a,b>0 nên
0,
a b
b a
>
Áp dụng BĐT cơ sy, ta có (
a b
+
)(
1 1
)
a b
+ =
1+
1
a b
b a
+ +
.
4
4 1 1 4 . . .
a b
b a
≥ =
dấu “=” xảy ra khi
1
a b
a b
b a
= = ⇔ =
vậy (
a b
+
)(
1 1
4) a,b>0
a b
+ ≥ ∀
VD 3: Chứng minh rằng a+b+1
a,b 0ab a b
≥ + + ∀ ≥
phân tích: khác với hai ví dụ đã giải ở trên, ở trong B ĐT này cả hai v ế
đều là một tổng ba hạng tử trong bất đẳng thức. trong BĐT cơ sy chiều
nhỏ hơn là n
1 2 n
a .a a
n
vì vậy mỗi hạng tử
, , ab a b
là một vế nhỏ
hơn của ba bất đẳng thức cơ sy khác. Căn cứ vào điều này ta có thể
chứng minh bài tốn như sau:
CM: với a,b>0 ta có:
1 1
2 2 2
; ;
a b a b
ab a b
+ + +
≥ ≥ ≥
. Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức
trên ta có
1 1
1
2 2 2
a b a b
ab a b a b ab a b
+ + +
+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +
dấu “=” xảy ra khi a=b=1
VD 4: chứng minh rằng
1
2
a,b 0a b a b
+ + ≥ + ∀ ≥
Phân tích: Trong BĐT này ở vế trái có ba hạng tử, vế phải có hai hạng tử
vì vậy khi chứng minh bất đẳng thức này cần khéo léo tách các hạng tử ở
vế trái một cách hợp lí, tuy nhiên nếu chỉ để ý vế trái thơi thì việc phân tích
cũng sẽ gặp khó khăn, mà để làm được điều này ta cũng cần để ý vế phải
để có cách phân tích phù hợp. Ta có thể giải bài tập này như sau:
CM: vì a,b
≥
0 nên 2a,2b
≥
0.
Áp dụng bất đẳng thức cơ sy, ta có
1
2
1 1
2
2 2 2
2 2 2
.
a
a a a
+
+ ≥ ⇔ ≥
(1)
1
2
1 1
2
2 2 2
2 2 2
.
b
b b b
+
+ ≥ ⇔ ≥
(2)
cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
1
2
2
2
a
+
+
1
2
2
2
b +
a b
≥ +
1
2
2
2
a
+
+
1
2
2
2
b +
a b
≥ +
⇔
a+
1
4
+b+
1
4
a b
≥ +
⇔
a+b+
1
2
a b
≥ +
dấu”=” xảy ra khi 2a=2b=
1
2
⇔
a=b=
1
4
Bài tập tự giải:
chứng minh rằng:
bài 1:
1 1 1 8; a,b,c>0
a b c
b c a
+ + + ≥ ∀
÷ ÷ ÷
bài 2: (ax+by)(ay+bx)
4 ; a,b,x.y>0abxy
≥ ∀
bài 3:
( )
1 1 1
9 a,b,c>0a b c
a b c
+ + + + ≥ ∀
÷
bài 4: a+b+c
a,b,c>0ab bc ac
≥ + + ∀
II. BẤT ĐẲNG THỨC “CỘNG MẪU”
Với
1 2 3
0, , , ,
n
a a a a
≥
, ta có
2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
n n
n
a a a a a a a a
+ + + + ≥
+ + + +
Chứng minh: Với
1 2 3
0, , , ,
n
a a a a
≥
ta có
1 2 3 1 2 3
n
n n
a a a a n a a a a+ + + + ≥
(1)
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1
n
n n
n
a a a a a a a a
+ + + + ≥
(2)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:
(
1 2 3 n
a a a a
+ + + +
)
1 2 3
1 1 1 1
n
a a a a
+ + + +
÷
≥
1 2 3
n
n
n a a a a
1 2 3
1
n
n
n
a a a a
⇔
2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
n n
n
a a a a a a a a
+ + + + ≥
+ + + +
dấu “=” xảy ra khi a
1
=a
2
=a
3
=…
=a
n.
VD 1: chứng minh rằng:
Với a, b, c>0, a+b+c=1 thì
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
Vì a,b,c>0 nên áp dụng bất đẳng thức “cộng mẫu”, ta có
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
Mà a+b+c=1 (gt) nên
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=
1
3
VD 2: cho a,b,c >0 chứng minh rằng
1 1 1 1 1 1
5
3 3 3a b c a b c a b c a b c
+ + ≥ + +
÷
+ + + + + +
Phân tích: Nếu dung bất đẳng thức “cộng mẫu” cho 3 số ở vế trái, ta khơng
thể chứng minh được bài tốn này.khi thực hiện phép nhân ở vế phải ta thấy
vế phải là một tổng vì vậy ta suy nghĩ đến việc dùng ba bất đảng thức “cộng
mẫu” sau đó cộng vế với vế của ba bất đẳng thức đó. Ta có thể giải bài tốn
trên như sau:
Ta có
2
1 1 1 1 1 5
(1)
a a a b c a a a b c
+ + + + ≥
+ + + +
2
2
1 1 1 1 1 5
(2)
1 1 1 1 1 5
(3)
a b b b c a b b b c
a b c c c a b c c c
+ + + + ≥
+ + + +
+ + + + ≥
+ + + +
cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta có
2
5 5 5 1 1 1
5
3 3 3
1 1 1 1 1 1
5
3 3 3
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
+ + ≥ + +
÷
+ + + + + +
⇔ + + ≥ + +
÷
+ + + + + +
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
VD 3: cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng:
2 2 1 1 1 1
9
a b c d a b c a b d
+ + + ≥ +
÷
+ + + +
Phân tích: Nếu viết vế trái thành
1 1 1 1 1 1
a a b b c d
+ + + + +
và áp dụng bất đẳng
thức “cộng mẫu” ta khơng được như ý muốn. nếu thực hiện phép nhân ở vế
phải ta được 2 biểu thức có tử là 3
2
còn mẫu của mỗi biểu thức gồm ba số
hạng. Do đó ta nghĩ đén việc chứng minh hai bất đẳng thức bằng cách áp
dụng bất đẳng thức cộng mẫu rồi cộng vế với vế của hai bất đẳng thức đó.
Ta có thể chứng minh như sau:
Ta có
1 1 1 9 1 1 1 9
(1); (2)
a b c a b c a b d a b d
+ + ≥ + + ≥
+ + + +
cộng vế với vế của hai
bất đẳng thức (1) và (2) ta được
2 2 1 1 1 1
9
a b c d a b c a b d
+ + + ≥ +
÷
+ + + +
. Dấu
“=” xảy ra khi a=b=c=d
Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho a,b>0, a+b=12. Chứng minh rằng:
1 1 2 1
2 2 3a b a b
+ + ≥
+
Bài 2: Với a,b>0, a+b=1. Chứng minh rằng
2 2
1 1
6
ab a b
+ ≥
+
Bài 3: với a,b,c>0 chứng minh rằng :
2 2 2 2
16a b c a abc
b a b c a c b c ab bc
+ + + ≥
+ + +
Bài 4: cho a,b,c>0và a+b+c=
3
4
. Chứng minh a+b+c+
1 1 1 51
4a b c
+ + ≥
III. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng
minh bất đẳng thức
Với hai bộ số (x
1
, x
2,
… ,x
n
); (y
1,
y
2,
…,y
n
), ta có
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
x y x y x y x x x y y y
+ + + ≤ + + + + + +
CM: ĐẶT
1 1 2 2
n n
x y x y x y
+ + +
=A ;
2 2 2
1 2
n
x x x
+ + +
=B;
2 2 2
1 2
n
y y y+ + +
=C
Ta có (x
1
m-y
1
)
2
+(x
2
m-y
2
)
2
+…+(x
n
m-y
n
)
2
0
≥
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
( ) 2( ) ( ) 0
n n n n
x x x m x y x y x y m y y y
⇔ + + + − + + + + + + + ≥
2
2 0 mAm Bm c⇔ − + ≥ ∀
khi đó phương trình
2
2 0Am Bm c
− + =
vơ
nghiệm hoặc có nghiệm. Do đó
2 2
' 0 ,B AC B AC
∆ = − ≤ ⇔ ≤
hay
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
x y x y x y x x x y y y
+ + + ≤ + + + + + +
. Dấu “=” xảy ra
khi và chỉ khi
3
1 2
1 2 3
n
n
x x
x x
y y y y
= = = =
1. Ví dụ :
VD 1: Chứng minh
ux 1vy
+ ≤
với x
2
+y
2
=u
2
+v
2
=1
cm: Ta có
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ux ux ux 1vy vy vy u v x y+ ≤ + ⇒ + ≤ + + =
( )
2
ux 1 ux 1vy vy+ ≤ ⇒ + ≤
(ĐPCM)
Dấu “=” xảy ra khi
u v
x y
=
VD 2: Chứng minh rằng
2 3 5x y
+ ≤
với
2 2
2x 3y 5+ ≤
Cm:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3
2 3 5.5 25 2 3 5.
x y x y x y x y x y x y
x y x y
+ = + ≤ + ⇒ + ≤ + ≤ + +
⇒ + ≤ = ⇒ + ≤
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2 2
2 2
3 3
2 2
1
2 3 5
2 3 5
y
x y
x y
x
x
x y
x y
=
=
=
⇔ ⇔
≤
+ ≤
+ ≤
VD 3: Chứng minh với
[ ]
2,1a
∈
,ta có
1 2 6a a
− + + ≤
( )
( ) ( )
2
2;1 nên 1 - a > 0 và a + 2 > 0
dụng bất đẳng thức Bunhiacopski,ta có
1 2 1 1 1 2 =6
1
suy ra 1 + 2 6. dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1-a=a+2 a=
2
áp
a a a a
a a
∈ −
− + + ≤ + − + +
−
− + ≤ ⇔
với a
:VD 4
2 2
C minh rằng a 1 1 2 2 với a 1hứng b b a b
+ + + ≤ + + =
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2 2
: ta có 1 1 1 1 2
a 1 1 2 (1)
mặt khác ta có 1 1 2
2 (2)
từ (1) và (2) suy ra a 1 1 2 2 (ĐPCM)
" " a=b.
CM a b b a a b b a a b
b b a a b
a b a b
a b
b b a
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
+ + + ≤ + + + + = + +
⇒ + + + = + +
+ ≤ + + =
⇒ + ≤
+ + + ≤ +
=
VD 5
1
2 2 2
minh 1 với a 1
2
Chứng ab bc ac b c
−
≤ + + ≤ + + =
Cm
dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho ba số a,b,c ta có áp
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
0 1 1 1
0 2 2 2 3.
0 1 2 2 2 3 (vì 1)
1 2 2 2 3 1 2
1
1.
2
a=b=c
a=b=c
"=" xảy ra khi và chỉ khi
1
1
a b c a b c
a b c ab ac bc a b c
ab ac bc a b c
ab ac bc
ab ac bc
Dấu
a b c a b c
≤ + + ≤ + + + +
≤ + + + + + ≤ + +
⇔ ≤ + + + ≤ + + =
⇔ − ≤ + + ≤ − =
−
⇔ ≤ + + ≤
⇔
+ + = = = =
3
3
.
3
a b c
⇔ = = =
Bài tập tự giải:
Bài 1:
Ch ng minh x y 2 nếu 1 1 2 1ứ a x y a
+ ≥ + + + = +
Bài 2:
( )
( )
2
3 3
1 1
, , 0x y x y x y
x y
+ + ≥ + ∀ >
÷
Bài 3:
.
≥
≤ ≤
2 2
Gi¶ sư x, y 0 tho¶ m·n : x + y = 1
a) Chøng minh r»ng 1 x + y 2
b) TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc : P = 1 + 2x + 1 + 2y
Trong quá trình dạy học chứng minh BĐT nhiều khi ta còn gặp những bài toán
không thể áp dụng những bất đẳûng thức cổ điển như cô sy hay Bunhiacopski mà đòi
hỏi sự sáng tạo trong quá trình phân tích và chứng minh bất đăûng thức.Có khi chúng
ta phải tách các số hạng hoặc các thừa số ở một vế nào đó của bất đẳng thức cũng có
khi phải đưa vào trong bài toán moat đại lượng trung gian để so sánh.Sau đây là hai
phương pháp để giải một
số bài toán như đã nói.
IV.
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp
tách các số hạng hoặc tách các thừa số của một vế.
Trong một số trường hợp ta tách số hạng hoặc thừa số của một vế rồi từ
đó thực hiện phép tính.
1Ví dụ
1 1 1 1
Chứng minh với mọi n N, ta co ù
1.5 5.9 (4 3)(4 1) 4
1 1 4 1 1
ta có . . 1
1.5 4 1.5 4 5
1 1 4 1 1 1
. .
5.9 4 5.9 4 5 9
chứng minh
n n
∈ + + + <
− +
= = −
÷
= = −
÷
1 1 1 1
.
(4 3)(4 1) 4 4 3 4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1.5 5.9 (4 3)(4 1) 4 5 5 9 4 3 4 1
1 1 1 4
1 .
4 4 1 4 4
cộng vế với vế của các BĐT trên ta co ù
n n n n
n n n n
n
n n
= −
÷
− + − +
+ + + = − + − + + −
÷
− + − +
= − =
÷
+
1
(ĐPCM)
1 4 1 4 4
n n
n n
= < =
+ +
Ví dụ 2:
2
1 1 1 1
Chứng minh với n N ta luôn có 1 1 . 1 1 2
3 8 15
2
Chứng minh
n n
∀ ∈ + + + + <
÷ ÷ ÷ ÷
+
( ) ( )
2
2
1 ( 1)
ta nhận thấy với mọi n N ta luôn có 1 vì vậy vế trái bằng:
( 2)
2
2.3.4 1 2.3.4 ( 1)
2.2 3.3 4.4 ( 1)( 1) 2( 1)
. . (1)
1.3 2.4 3.5 ( 2) (1.2.3.4 )(3.4.5 ( 2)) 2
v
n
n n
n n
n n
n n n
n n n n n
+
∈ + =
+
+
+ +
+ + +
= =
+ + +
2
2( 1) 2( 1)
ì 1<2 nên n+1<n+2 suy ra (2)
1 2
1 1 1 1 2( 1)
từ (1) và (2) suy ra 1 1 . 1 1 2 (ĐPCM)
3 8 15 1
2
n n
n n
n
n
n n
+ +
>
+ +
+
+ + + + < =
÷ ÷ ÷ ÷
+
+
Bài tập tự giải:
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét