Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 3 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Chùm mặt phẳng ( tiết 41)
1/ Cho hai mặt phẳng :
a. Xác định toạ độ các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
b. Khi nào thì điểm M
o
=(x
0
; y
0
; z
0
)

thuộc mặt phẳng ().
Trả lời:
() Ax + By + Cz + D = 0
() Ax + By + Cz + D = 0
Kiểm tra bài cũ:
( ; ; ); ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =
r r
b. Điểm M
o
= (x
o
; y
o;
z
o
) thuộc mặt phẳng (). khi và chỉ khi
toạ độ điểm M
o
thoả mãn phương trình mặt phẳng ().
Hay:
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0
a. Ta có :

Bài mới
1. Một số qui ước:
A
1
= t A
1
; A
2
= tA
2
; A
3
= tA
3
; ; A
n
= tA
n
Ví dụ:
Cho bộ ba số : (2; 4; 6) và (1; 2; 3) hai bộ số này có tỷ lệ
hay không?
Trả lời: Hai bộ số:

(2; 4; 6) và (1; 2; 3)

là tỷ lệ với nhau
Ta viết : 2: 4: 6 = 1: 2: 3
Ký hiệu : A
1
: A
2
: A
3
: : A
n
= A
1
: A
2
: A
3
: : A
n
.


0t số
được gọi là hệ số tỉ lệ
a/ Hai bộ n số (A
1
; A
2
; A
3
; ; A
n
) Và (A
1
; A
2
; A
3
; ; A
n
) :
0t
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số
sao cho

Ngoài ra còn ký hiệu khác:
Hai bộ số : (A
1 ;
A
2
; A
3
; ; A
n
) và ( A
1
; A
2
; A
3
; ; A
n
)
.
.
Không tỷ lệ ta ký hiệu
:
:
3
1 2
' ' ' '
1 2 3

n
n
A A
A A
A A A A
= = = =
Chú ý : Nếu A
i
= 0 Thì hiển nhiên A
i
= 0
A
1
: A
2
: A
3
: : A
n

.
.
Nhận xét
'
( '; '; ')n A B C=
r
( ; ; )n A B C=
r
' ' '
A B C
A B C
= =
Hai véc tơ
và
cùng phương khi và chỉ khi : A : B : C = A: B : C hay
A
1
: A
2
: A
3
: : A
n


2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian cho hai mặt phẳng () và () nêu các vị trí
tương đối của hai mặt phẳng?
Trả lời: Vị trí tương đối của () và () là:
1. () cắt ()
2. () trùng với ()
3. () song song với ()

Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho hai mặt phẳng () và
() lần lượt có phương trình
() Ax + By + Cz + D = 0 ; () Ax + By + Cz + D = 0
Xác định toạ độ các véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

n
r
'
n
r


() trùng với ()
n
r

'
n
r

() song song với ()
n
r


'
n
r
() cắt ()
Quan sát vị trí tương đối của hai mặt phẳng

n
r


'
n
r
() cắt ()
Em có nhận xét gí về vị trí tương đối của hai véc tơ pháp
tuyến của hai mặt phẳng?
n
r
'
n
r


không cùng phương
Trả lời:
Hai véc tơ
và
A : B : C A: B : C
và
n
r
'
n
r
không cùng phương

n
r
'
n
r


() trùng với ()
. M
0
Em hãy tìm điều kiện cần và đủ để (

) trùng với (

) ?
Trả lời: Điều kiện cần và đủ để () trùng với () là:
{
n
r
'
n
r
cùng phương với
M
0
() M
0
()




{
( t 0)
' ' '
A B C
t
A B C
= = =
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0
'
n
r
{
n
r
cùng phương với
M
0
() M
0
()





{
( t 0)
' ' '
A B C
t
A B C
= = =
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0

{
tAx
0
+ tBy
0
+ tCz
0
= - D
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
= - D
( t 0)
' ' '
A B C
t
A B C
= = =
{

t(Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
) = - D
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
= - D
( t 0)
' ' '
A B C
t
A B C
= = =
{

tD = D
'
D
t
D
=

( t 0)
' ' '
A B C
t
A B C
= = =

' ' ' '
A B C D
A B C D
= = =

n
r

'
n
r

() song song với ()
Em hãy tìm điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng song song?
Trả lời :
' ' ' '
A B C D
A B C D
= =
' ' ' '
A B C D
A B C D
= =

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
() 2x - y + z + 1 = 0
() x + y + z - 2 = 0
Trả lời:
Hai véc tơ không cùng phương do dó hai mặt phẳng đã cho cắt
nhau
(2; 1;1) ; n' (1;1;1)n = =
r
r
Ta có :

Cho hai mặt phẳng () và () cắt nhau lần lượt có phương trình:
() Ax + By + Cz + D = 0
() Ax + By + Cz + D = 0
a. Định lý: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của đều có phư
ơng trình dạng:
Ngược lại mỗi phương trình dạng (*) đều là phương trình của
một mặt phẳng qua giao tuyến của () và ()
b. Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của () và
() gọi là chùm mặt phẳng. Phương trình được gọi là phương
trình của chùm mặt phẳng.
(*) Với
2
00)''''()(
2
+=+++++++
àà
DzCyBxADCzByAx
3. Chùm mặt phẳng

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng () và () có phương trình:
() 2x - y + z + 1 = 0
() x + y + z - 2 = 0
1. Chứng minh rằng () và () cắt nhau
2. Viết phương trình mặt phẳng (
1
) qua giao tuyến của () và
() và đi qua M= (1; 1; 1)
áp dụng:
Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng để viết phư
ơng trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt
phẳng và thoả mãn thêm một tính chất nào đó như:
qua một điểm, song song với một mặt phẳng,
vuông góc với một mặt phẳng

Trả lời:
2. Mặt phẳng (
1
) qua giao tuyến của () và () nên nó có
phương trình:
3 thi -1 Chọn
).1(2
:n nê1) 1; (1;qua M )( Mặt khác
)(2
với
1
2
==
=+
=+++++
=
=+++++
+=+++++
à
à
àààà

àààà
àà
03
021).(1).(
02)()(
00)2()12(
2
zyx
zyxzyx
Hai véc tơ không cùng phương do dó hai mặt phẳng đã
cho cắt nhau
(2; 1;1) ; n' (1;1;1)n = =
r
r
Ta có :
1
Ta được :
x + 4y + 2z 7 = 0

Xem chi tiết: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng