Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
Chủ Đề hệ ph ơng trình.
I, Hệ ph ơng trình hai ẩn.
A. dạng bậc nhất hai ẩn: x,y
ph ơng pháp giải :
cộng đại số; thế; đồ thị; định thức; Gauxơ
P
2
định thức : D=
,,
b
b
a
a
=ab
,
-a
,
b D
x
=
,,
b
b
c
c
=cb
,
-c
,
b D
y
=
,,
c
c
a
a
=ac
,
-a
,
c
B.dạng hệ gồm một ph ơng trình bậc nhất và một ph ơng trình
bậc hai của hai ẩn:x,y
ph ơng pháp giải :
Rút một ẩn từ phơng trình bậc nhất ( chẳng hạn y=f(x) ) thế vào phơng trình bậc hai giải
đợc x từ đó tìm đợc nghiệm của hệ.
C.dạng hệ đối xứng kiểu I hai ẩn : x,y
Dạng: Khi đổi x cho y và y cho x thì các phơng trình không đổi nên hệ không đổi.
ph ơng pháp giải :
đặt
=
=+
Pxy
Syx
thay vào hệ giải tìm đợc S,P khi đó x,y là nghiệm
của phơnh trình: X
2
-SX+P=0
L u ý:
1) x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy=S
2
-2P
2) x
3
+y
3
=(x+y)
3
-3xy(x+y)=S
3
-3SP
3) x
4
+y
4
=(x+y)
4
-4xy(x+y)
2
+2x
2
y
2
=S
4
-4PS
2
+2P
2
4) (x+y+z)
2
=x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2yz+2zx
5) để hệ có nghiệm thì:
PS 4
2
.
6)
=
=+
=
=
yx
Pyx
Syx
Pxy
Syx
,
)(
)(
X
2
-Sx-P=0.
d.dạng hệ đối xứng kiểu ii hai ẩn: x,y
Dạng: Khi đổi x cho y và y cho x thì phơng trình (1) trở thành phơng trình (2)
và phơng trình (2) trở thành phơng trình (1) nên hệ không đổi.
ph ơng pháp giải :
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.1
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
Trừ từng vế hai phơng trình cho nhau đặt hiệu hai ẩn làm nhân tử chung giải tích các nhân
tử đó tìm đợc mối quan hệ giữa x và y sau đó thay vào phơng trình (1) giải tìm đợc nghiệm
của hệ.
L u ý: *) Nếu (x
0
;y
0
) là nghiệm thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm.
*) Hệ đ/x Kiểu I & Hệ đ/x Kiểu II Khác nhau là : Khi đổi x cho y & y cho x
Thì Kiểu I phơng trình (1) vẫn là (1) và (2) vẫn là (2).
Trong khi đó Kiểu II phơng trình (1) trở thành (2) và (2) trở thành (1).
e.dạng hệ đẳng cấp bậc hai hai ẩn: x,y.
ph ơng pháp giải :
P
2
1. Đa một phơng trình nào đó của hệ về dạng: ax
2
+bxy+cy
2
=0 (*)
*) Thử trực tiếp y=0
*) khi y
0
từ (*) suy ra
0)(
2
=++
c
y
x
b
y
x
a
giải tìm đợc
k
y
x
=
hay x=ky
thay vào hệ giải đợc nghiệm.
P
2
2. Đa về dạng không có chứa x
2
(
hoặc y
2
). Từ đó rút x theo y (
hoặc y theo x
). thay vào
phơng trình (1) đợc phơng trình trùng phơng giải tìm đợc nghiệm.
P
2
3. *) Kiểm tra trực tiếp x=0
*) Khi x
0
đặt y=kx
(3)
Thì hệ trở thành
=++
=++
)5(
,22,,,
)4(22
)(
)(
dxkckba
dxckbka
Từ đây giải
tìm đợc k thay vào (4) hoặc (5) tìm đợc x thay vào (3) tìm đợc y.
L u ý : Nếu hệ có nghiệm (x
0
;y
0
) thì (-x
0
;-y
0
) cũng là nghiệm.
Bài Tập
A) Giải các hệ ph ơng trình sau:
1.
=++
=+++
7
8
22
22
xyyx
yxyx
2.
=++
=++
21
7
2244
22
yxyx
xyyx
3.
=+
=++
30
11
22
xyyx
xyyx
4.
=++
=++
2
4
22
xyyx
xyyx
5.
=+
=+
26
2
33
yx
yx
6.
=+
=+
1
1
44
33
yx
yx
7.
=+
=+
45
9
22
yx
yx
8.
=+
=
193
84
22
yx
xy
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.2
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
9.
=+
=++
2
5
2
7
22
xyyx
xyyx
10.
+=+
=+
1
7
78
xy
x
y
y
x
xyyx
11.
=
=+
8
7
33
33
yx
yx
12.
=++
=++
5
13
22
xyyx
xyyx
13.
=+
=++
1
2
22
xyyx
yxyx
. 14.
=+
=+
5
35
33
yx
yx
15.
=+
+=+
6
)(3)(2
3
3
3
2
3
2
yx
xyyxyx
16.
=+
=+
35
30
yyxx
xyyx
17.
=+
=+
1
21
22
yx
xyyx
18.
=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
19.
=+
=+
22
222
6
51
xxyy
xyx
20.
=+
=++
8
22
33
yx
xyyx
21.
=+++
=++
28)(3
11
22
yxyx
xyyx
22.
=
=++
2)1)(1(
72)1)(1(
yx
yxxy
23.
=+
=+
3
17
4
4
yx
yx
24.
=+
=++
17
3
44
22
yx
yxyx
25.
=++
=++
25)1)((
10)1)(1(
xyyx
yx
26.
=+
=+
4
28
3
3
yx
yx
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.3
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
27.
=+
=+
20
6
22
xyyx
xyyx
28.
+=+
+=+
3
13
22
xyyx
xyyx
29.
=+
=+
6
13
5
x
y
y
x
yx
30.
=+++
=+++
4
11
4
11
22
22
yx
yx
yx
yx
31.
=+
=++
xyyx
yx
xy
2
3
2
711
32.
=+
=
+
+
4
311
3
10
22
yx
yx
yx
33.
=+
=+
13
11
5
11
22
yx
yx
34.
=
+
=++
20
)(
9
y
yxx
y
x
yx
35.
=
=+
2
)(
3
y
yxx
y
x
yx
36.
=
+
+
+
=+
2
5
105
yx
y
yx
yx
yx
yx
yx
37.
=
+
+
=++
3
44
20)()(
22
yxyx
yxyx
38.
=
+
+
+
=+
6
5
20
22
yx
yx
yx
yx
yx
39.
=+++++++
=+++++++++
211
1811
22
22
yyxyxyxx
yyxyxyxx
40.
=+
=++
4
282
22
yx
xyyx
41.
++=++
++=++
56244
2244
22
22
yxyxyx
yxyxyx
42.
=+
=+
43
14
2
22
yxy
yxyx
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.4
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
43.
=
=
+
18
1
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
yxyx
yxyx
44.
=
+
=
5
3
3
2
3
1
3
3
5
3
2
yxyx
yxyx
45.
=
++
+
=
++
+
+
12
7
14
2
23
1
24
7
14
3
23
2
yxyx
yxyx
46.
=
+
+
+
=
+
+
5
7
32
1
1
3
2
5
32
5
1
4
yxyx
yxyx
47.
+=+
++=++
31)12)(2()3)(12(
18)2)(1()3)(1(
yxyx
yxyx
48.
=+
=+
432
324
22
22
yxyx
yxyx
49.
=
=+
15395
38453
22
22
yxyx
yxyx
50.
=+
=+
43
14
2
22
yxy
yxyx
51.
+=
+=
542
542
2
2
xxy
yyx
52.
+=
+=
x
xy
y
yx
1
2
1
2
2
2
53.
=
=
4
1
1
4
1
1
2
2
xy
yx
54.
+
=
+
=
2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
y
y
y
x
55.
=
=
2
2
1
1
xy
yx
56.
=
=
xyy
yxx
2
2
2
2
57.
=++
=+++
5
8
22
xyyx
yxyx
58.
=
=
xyy
yxx
23
23
2
2
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.5
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
59.
=+
=
208
96
22
yx
xy
60.
=
=
55
24
22
yx
xy
61.
=+
=++
3
7
22
22
xyyx
xyyx
62.
=+
=+
0
1)(2
22
2
xyyx
xyyx
63.
=++
=++
5
7
22
yxyx
xyyx
64.
=+
=+
160
)(3
22
yx
xyyx
65.
=++
=+
69
102
22
yxyx
yxyx
66.
=+
=
2
12
2
22
xxy
yx
67.
=+
=+
10)(
225
22
yxy
xyyx
68.
=+
=++
20
)(5)(2)(2
22
2222
yx
yxyxyx
69.
=++
=++++
06)(2
09)3(2)3(2
22
xyyx
xyyxyx
70.
=
=
yxy
xyx
72
72
22
22
71.
=
=+
yyyx
xyyx
)2(
724
22
72.
=++
=+++
353
0192)(5
yxyx
xyyx
73.
=+
=+
3
13
22
xyyx
xyyx
74.
=++
=
15))((
3))((
22
22
yxyx
yxyx
75.
=++
=+++
72)1)(1(
18
22
xyyx
yxyx
76.
=+
=+
554
932
22
22
yxyx
yxyx
77.
=++
=+
22
1
322
33
yxyyx
yx
78.
=+++
=+
7
5
22
33
yxyx
xyyx
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.6
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
79.
=++
=+
931
19
4224
22
yyxx
yxyx
80.
=+
+=+
6
)2(2
22
yx
xyyx
81.
=
=
232
232
22
22
xyy
yxx
82.
=+
=
1
)(3
33
yx
yxyx
83.
=+
+=++
3
2413
22
yx
yxyx
84.
=+++
=+
411
3
yx
xyyx
85.
+=+
=+
211
1
11
22
22
xyyx
yx
86.
=+
=+
2
1
2
1
x
y
y
x
87.
=++
=+
5
1
)(8
1
44
xy
yx
yx
88.
=+++
++=+++++
80
531531
22
yxyx
yyyxxx
88.
=+
=+
3
71
2
71
x
y
y
x
89.
=+
=+
2
311
1
22
yx
xyyx
90.
=+
=+
1
136
22
2
yx
yxxyx
91.
=
=+
3)2(
1)32(
3
3
yx
yx
92.
=+
=++
1
2
xyxy
yxyx
93.
=++
=+++
65)(
185)(
2222
2222
yxyxyx
yxyxyx
94.
=+
=
yxyx
x
yyx
3)(
2
)(
95.
=+
=+
280
420
2
2
xyxy
xyyx
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.7
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
96.
=++
=++
84
14
22
xyyx
xyyx
97.
=+
=+
63
3
2
5
10
xyyx
yx
98.
=++++
=
+
+
+
524)(
4
17
2
22
22
22
22
xyxyxx
yxx
yxx
yxx
yxx
99.
=++
=+++
8
1
2
3
1
3
y
yx
y
xyx
100.
+=+
=
4
3
3
yxyx
yxyx
101.
=
=
3
)(
2
7
3
3
3
2
3
2
yx
xyyxyx
102.
=+
=+
1
1
20052005
22
yx
yx
103.
=+
=+
1
1
20072006
22
yx
yx
104.
=+
=+
1
1
20082007
22
yx
yx
105.
=+
=+
1
1
20082008
22
yx
yx
B) Các hệ ph ơng trình có chứa tham số:
1. Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ:
+=+
=+
32
12
222
aayx
ayx
Xác định a để tích xy nhỏ nhất?
2. Cho hệ:
=+
+=+
4)(
)1(2
2
22
yx
ayx
Tìm a để hệ có đúng hai nghiệm.
3. Cho hệ
=+
=++
ayx
axyyx
22
Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm.
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.8
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
4. Cho hệ
=+
=++
83
22
axyyx
axyyx
Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm.
5. Cho hệ
=+
+=++
axyyx
axyyx
22
1
Với giá trị nào của a thì hệ có ít nhất một nghiệm
thoả điều kiện : x>0 ; y>0.
6. Cho hệ
=+
+=+
32
1
222
aaxyyx
ayx
Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với
Ra
.
7. Cho hệ
+=+
+=++
1
2
22
axyyx
axyyx
Xác định a để hệ có: Nghiệm; nghiệm duy nhất; 4 nghiệm.
8. Cho hệ
=+
=+
23
44
22
ayx
ayx
Tìm a để hệ có nghiệm.
9. Cho hệ
=+++++++
=+++
ayxxyyx
yx
1111
311
Tìm a để hệ có nghiệm.
10. Cho hệ
=++
+=+
1)1(1
1
22
yxayx
xyyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
11. Cho hệ
=
+
=
++
a
yx
yx
yx
yx
2
2
5
2
1
2
Tìm a để hệ có nghiệm.
12. Giải và biện luận hệ:
=+
=+
444
ayx
ayx
Với a thuộc R
13. Giải và biện luận hệ:
=
=++
ayx
ayx
33
33
.
1
Với a thuộc R
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.9
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
II, Hệ ph ơng trình Ba ẩn.
. dạng hệ ph ơng trình bậc nhất Ba ẩn: x,y,z.
ph ơng pháp giải :
Rút một ẩn từ một phơng trình nào đó thế vào hai phơng trình còn lại ta đợc hệ
phơng trình bậc nhất hai ẩn,giải hệ này tìm đợc nghiệm thay giá vừa tìm đợc này vào biểu
thức rút ra ban đầu để tìm nghiệm.
L u ý:
*) Dạng:
=+
=+
=+
cxz
bzy
ayx
ph ơng pháp giải
: Cộng từng vế các phơng trình ta đợc:
2
cba
zyx
++
=++
lấy biểu thức này trừ lần lợt từng vế cho các phơng trình của hệ ta sẽ đợc nghiệm.
*) Dạng:
=
=
=
czx
byz
axy
ph ơng pháp giải
: Nhân từng vế các phơng trình ta đợc:
abcxyz
=
Nếu abc
o.Lấy biểu thức này chia lần lợt từng vế cho các phơng trình của hệ ta sẽ đợc hai nghiệm.
Bài Tập
A) Giải các hệ ph ơng trình sau:
1.
=+
=+
=+
29
30
25
xz
zy
yx
2.
=+
=+
=+
22
28
16
xz
zy
yx
3.
=++
=++
=++
5
2
1
zxxz
yzzy
xyyx
4.
=++
=++
=++
xyzyxz
xzzyxy
yzxyxx
6)(
3)(
2)(
5.
=++
=+
=+
3
7
1
zyx
zyx
zyx
6.
=++
=
=+
142
3324
13532
zyx
zyx
zyx
. dạng hệ ph ơng trình bậc cao Ba ẩn: x,y,z.
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.10
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
A) Giải các hệ ph ơng trình sau:
1.
=+
=+
=+
zxyz
yxzy
xyzx
2
2
2
2
2
2
2.
=++
=++
=++
1
1
1
22
22
22
zyx
zyx
zyx
3.
=
+
+
=
+
+
=
+
+
4
111
3
111
2
111
yxz
xzy
zyx
4.
=
+
=
+
=
+
3
2
1
xz
zx
zy
yz
yx
xy
5.
=++
=+
=++
14
7
6
222
zyx
xzyzxy
zyx
6.
+=
+=
+=
1
1
1
2
2
2
xz
zy
yx
7.
=+++++
=+++++
16
771111
4
51111
222
222
zyx
zyx
zyx
zyx
8.
=
+
+
=
+
+
0
)()()(
0
222
xz
z
zy
y
yx
x
xz
z
zy
y
yx
x
9.
=++
=+
=++
14
1
6
222
zyx
xzyzxy
zyx
10.
=+
=+
=+
16)(
30)(
2)(
23
23
23
yxzz
xzyy
zyxx
11.
+=+++
=++
3
3
)1()1)(1)(1(
3
xyzzyx
zyx
12.
=++
=++
=++
1
111
27
9
zyx
zxyzxy
zyx
13.
=++
=+
=++
18
1
4
222
zyx
xzyzxy
zyx
14:
=+++
=+++
=+++
5
4
3
xzzy
yxxz
zyyx
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.11
Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
15.
=+++
=+++
=+++
03322
03322
03322
23
23
23
xxy
zzx
yyz
16.
=+
=+
=+
08126
08126
08126
23
23
23
yyz
xxy
zzx
17.
=
=++
=++
6
11
14
222
xyz
zxyzxy
zyx
B) Các hệ ph ơng trình có chứa tham số:
1. Cho (x,y,z) là nghiệm của hệ:
=++
=++
4
1
222
zxyzxy
zyx
Chứng minh rằng:
.
3
8
,,
3
8
zyx
2. Giải và biện luận hệ:
=++
=++
=++
2
1
mmzyx
mzmyx
zymx
với m là tham số.
3. Giải hệ:
=++
=++
=++
1
0
0
abzcaybcx
czbyax
zyx
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.
4. Giải hệ:
=++
=++
=++
1
0
0
abzcaybcx
czbyax
zyx
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.
5. Giải hệ:
++=++
=++
=++
)()()(
0
0
222333
222
bacacbcbazcybxa
zcybxa
czbyax
với: a,b,c
R, đôi một khác 0.
6. Giải hệ:
=+++
=+++
=+++
0
0
0
32
32
32
czccyx
bzbbyx
azaayx
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.
Lu hành nội bộ chủ biên:Nguyễn Văn Bốn.12
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét